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证明 1+1=2 听起来像是一个非常简单的问题，但在数学的严格体系中，它实际上是一个深刻且重要的里程碑。
在现代数学中，这个等式是在一个叫做皮亚诺公理（Peano Axioms）的框架下被证明的，这个证明标志着从基本的公理出发构建整个自然数集合。
证明的步骤（基于皮亚诺公理）
皮亚诺公理是定义自然数 N (通常指 {0,1,2,3,…} 或 {1,2,3,…}) 的五个基本假设。我们关注其中与证明 1+1=2 最相关的部分：
存在一个后继函数 S(n)： 每个自然数 n 都有一个唯一的后继数 S(n)。
定义 1 和 2：
1 被定义为 0 的后继数： 1=S(0)。
2 被定义为 1 的后继数： 2=S(1)=S(S(0))。
定义加法 a+b： 加法是通过递归定义的：
基础情况： a+0=a
递归情况： a+S(b)=S(a+b)
具体的证明过程
现在我们利用这些定义来证明 1+1=2：
从左侧开始：
1+1
使用 1 的定义：
我们知道 1 是 0 的后继，即 1=S(0)。将它代入原式：
1+S(0)
使用加法的递归定义：
加法的递归定义是 a+S(b)=S(a+b)。
令 a=1 和 b=0，代入公式：
1+S(0)=S(1+0)
使用加法的基础情况：
加法的基础情况是 a+0=a。
令 a=1，代入公式：
1+0=1
替换并简化：
将 1+0=1 代回第 3 步的结果：
S(1+0)=S(1)
使用 2 的定义：
我们知道 2 被定义为 1 的后继，即 2=S(1)。
S(1)=2
结论：通过严格遵循皮亚诺公理的定义，我们证明了：
1+1=2
总结：在形式数学中，1+1=2 不是一个凭空出现的真理，而是一个可以被逻辑推导出来的定理。它的证明依赖于对 0、 1、 2 和 加法 的精确、公理化的定义。
这个证明的完整版本是由著名哲学家和数学家伯特兰·罗素和阿尔弗雷德·怀特海在他们的巨著《数学原理》（Principia Mathematica）中完成的，他们在书中花了数百页来从逻辑基础推导到 1+1=2 这个看似简单的结论，展示了数学基础的严谨性。 |
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发表于 2025-10-6 00:26:24
发表于 2025-10-6 13:33:24
